Aufgabe MMS 1 - 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$. Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

2 Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a: x \mapsto (x^2 - x - a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

a

Berechnen Sie den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $h_1$. [4 BE]

b

Für jeden Wert von $a$ mit $a > -\frac{5}{4}$ hat der Graph von $h_a$ zwei Extrempunkte. Bestimmen Sie die $x$-Koordinaten dieser beiden Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$. [5 BE]

Begründen Sie, dass es zu jeder Stelle $x > \frac{3}{2}$ einen Wert von $a$ gibt, für den der Graph von $h_a$ im Punkt $(x \mid h_a(x))$ einen Hochpunkt hat.