Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10,\; x\in\mathbb{R},$$und$$g(x)=-6\cdot x+10,\; x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

(2)

Der Punkt $P(3\mid f(3))$ gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von $f$ und $g$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x)=3\cdot x^2-12,\; x\in\mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie: $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

d) Betrachtet werden die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ und die Gerade $h$, die durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid 0)$ und $B(5 \mid 1 \mid b)$ verläuft, wobei $b$ eine reelle Zahl ist.

(1)

Begründen Sie, weshalb der Punkt $A$ nicht auf $g$ liegt.

(2)

Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich in einem Punkt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $b$.

e) Gegeben sind die Punkte $A(-1 \mid 3 \mid 2)$, $B(1 \mid 2 \mid 4)$ und $C(2 \mid 4 \mid -1)$.

(1)

Untersuchen Sie, ob das Dreieck $ABC$ am Eckpunkt $A$ einen rechten Winkel hat.

Ja

Nein

(2)

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A$ und $B$. Auf $g$ liegen die Punkte $P$ und $Q$, die von $A$ jeweils $9\text{ LE}$ entfernt sind. Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

c) Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4\cdot (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ohne Nachweis benutzen.

Teilaufgabe a(1)

(1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich der Graph von $q'$ aus dem Graphen von $q$ gewinnen lässt.

Teilaufgabe c(1)

(1)

Es gilt $w(x) \to c$ für $x \to \infty$.

Geben Sie den Wert $c$ und dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an.

c =

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

c) Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4\cdot (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ohne Nachweis benutzen.

Teilaufgabe a(2)

(2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

Teilaufgabe b(2)

(2)

(i) Zeigen Sie: $h'(x) = (-x^2 + 3x)\cdot e^{-x}$.

(ii) Berechnen Sie sowohl die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ als auch den Abstand zwischen diesen Extrempunkten.

x =

y =

x =

y =

Teilaufgabe c(2) & c(3)

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot e^{-x}$ ohne Herleitung benutzen.

(2)

An zwei Stellen stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ überein.

Ermitteln Sie eine dieser Stellen.

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden nach Beginn der Beobachtung, an dem die momentane Durchflussrate am stärksten sinkt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

c) Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4\cdot (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ohne Nachweis benutzen.

Teilaufgabe a(3)

(3)

Geben Sie an, welchen Wert das Integral $\int_{0}^{2}(q(x)-p(x))\,\mathrm{d}x$ besitzt, und interpretieren Sie diesen Wert in geometrischer Hinsicht.

Teilaufgabe b(1)

(1)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Teilaufgabe b(3)

(3)

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ bilden das Rechteck $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Ermitteln Sie, welchen Anteil der Flächeninhalt des schraffierten Teilstücks am Flächeninhalt des Rechtecks hat.

Teilaufgabe c(4)

(4)

(i) Bestimmen Sie, welche Wassermenge in den ersten zwei Sekunden nach Beobachtungsbeginn die Messstelle passiert.

(ii) Für $t \ge 0$ besitzt die Gleichung $\int_{t}^{t+3} w(x)\,\mathrm{d}x = 13$ die Lösungen $t_1$ und $t_2$ mit $t_1 \approx 0{,}8$ und $t_2 \approx 4{,}4$.

Interpretieren Sie, was diese beiden Lösungen im Sachzusammenhang bedeuten.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

a) (1)

Begründen Sie, dass der Graph $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

b)

Ausgehend von $G_f$ werden durch drei Schritte neue Graphen erzeugt. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten entsteht.

Geben Sie an, wie viele unterschiedliche neue Graphen sich auf diese Weise aus $G_f$ erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe.

c) (1)

Ermitteln Sie, für welche Dauer die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort im Laufe eines Jahres oberhalb von $15^\circ\text{C}$ liegt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

a) (3)

Der Graph $G_f$ besitzt zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass es sich bei einem davon um einen Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ handelt.

a) (4)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente $t$, die $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t: y = \frac{8}{3}x - 16$.]

c) (2)

Geben Sie die Wendestelle von $g$ an. Beschreiben Sie, was diese Wendestelle für den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur bedeutet.

c) (3)

Die nachstehenden Rechnungen stellen gemeinsam mit Abbildung 1 den Lösungsweg zu einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$$g'(x) = 0 \iff x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12}$$$$g(6 + \sqrt{12}) - g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2$$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie das dargestellte Vorgehen bei der Lösung.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

c) (4) (i)

Begründen Sie, weshalb der in Abbildung 2 gezeigte Verlauf nur dann durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden kann, wenn diese mindestens den Grad 4 besitzt.

c) (4) (ii)

Zur Modellierung des Verlaufs dient eine ganzrationale Funktion $h$ mit$$h(x) = a\cdot x^4 + b\cdot x^3 + c\cdot x^2 + d\cdot x + e, \quad x, a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangen ist, und $h(x)$ für die Tagesdurchschnittstemperatur in $^\circ\text{C}$.

Die Funktion $h$ soll dabei diese Bedingungen erfüllen:

Bei $x=1$ tritt die niedrigste Tagesdurchschnittstemperatur auf.

Bei $x=7$ wird die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^\circ\text{C}$ erreicht.

Bei $x=10{,}5$ sinkt die Tagesdurchschnittstemperatur am stärksten, nämlich mit einer Rate von $-4{,}2^\circ\text{C}$ pro Monat.

Stellen Sie anhand dieser Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem sich $a, b, c, d$ und $e$ bestimmen lassen.

[Die Werte müssen nicht berechnet werden.]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

a) (2)

Für jedes $b \in \mathbb{R}, b > 0$, gilt $\int_{-b}^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Erklären Sie dieses Ergebnis.

a) (5) (i)

Außer $P$ besitzen die Tangente $t$ und $G_f$ lediglich den Punkt $Q(-12|f(-12))$ als gemeinsamen Punkt.

Geben Sie eine Gleichung für eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x) = f(x) - \left(\frac{8}{3}x - 16\right)$ an und berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das von $G_f$ und $t$ begrenzt wird.

a) (5) (ii)

Die $y$-Achse teilt die Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten, von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Fläche hat.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ bildet ein Rechteck in der $x_1x_2$-Ebene, und $B_1B_2B_3B_4$ bildet ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, mit dem ein Architekturbüro ein neues Hotel plant. Dieses soll aus drei gleichförmigen Gebäuden bestehen (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sich ein dreieckiger Innenhof ergibt, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

a)

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B_1$ an.

( | |)

(2)

Begründen Sie, weshalb es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

(3)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen.

°

b)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten von Punkt $P$.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

( | |)

(2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ bildet ein Rechteck in der $x_1x_2$-Ebene, und $B_1B_2B_3B_4$ bildet ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, mit dem ein Architekturbüro ein neues Hotel plant. Dieses soll aus drei gleichförmigen Gebäuden bestehen (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sich ein dreieckiger Innenhof ergibt, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

c)

(1)

Begründen Sie, dass $$E:\vec{x} = \begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}-40\\10\\30\end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$$ die Ebene beschreibt, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast, dessen Spitze der Punkt $S(0|0|35)$ ist. Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung$$\vec{r} = \begin{pmatrix}6\\0\\-2\end{pmatrix}$$.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

( | |)

Ja

Nein

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Forschungsteam eines Tourismusinstituts befragte repräsentativ $10\,000$ Personen aus einer Region, die 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reisten die Personen mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise genutzt.

Die genannten Prozentsätze sind im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse zu verwenden.

a)

(1)

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(2)

Für eine Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn als Anreisemittel gewählt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Reise eine Inlandsreise war.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Forschungsteam eines Tourismusinstituts befragte repräsentativ $10\,000$ Personen aus einer Region, die 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reisten die Personen mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise genutzt.

Die genannten Prozentsätze sind im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse zu verwenden.

b)

Zur Ergänzung der Befragung werden zufällig 20 Fragebögen zu den Urlaubsreisen herausgegriffen, damit mit den jeweiligen Befragten Interviews geführt werden können.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

(1)

Erläutern Sie, weshalb sich $P(X = k)$ für $0 \leq k \leq 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen lässt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen zu finden sind.

(3)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Inlandsreisen unter den 20 Urlaubsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

c)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit mindestens $99\,\%$ Wahrscheinlichkeit auf mindestens fünf dieser Fragebögen eine Auslandsreise angegeben ist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Forschungsteam eines Tourismusinstituts befragte repräsentativ $10\,000$ Personen aus einer Region, die 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reisten die Personen mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise genutzt.

Die genannten Prozentsätze sind im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse zu verwenden.

d)

Mitarbeitende des Instituts für Tourismus vermuten, dass der Anteil der Inlandsreisen in der Region 2022 gegenüber 2019 gestiegen ist.

Um dies zu untersuchen, wird bei 100 Reisen aus dem Jahr 2022 festgehalten, ob sie ins Inland oder ins Ausland führten.

Sind mindestens 34 dieser Reisen Inlandsreisen, nimmt das Team an, dass der Anteil der Inlandsreisen gestiegen ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team irrtümlich einen gestiegenen Anteil der Inlandsreisen annimmt, obwohl sich der Anteil gar nicht verändert hat.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team einen unveränderten Anteil an Inlandsreisen annimmt, obwohl der Anteil in Wirklichkeit auf $30\,\%$ angestiegen ist.

Abbildung 1 stellt in schematischer Form die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Ende der Fahrbahn verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

a) Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell mit dem Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke eine Gesamtlänge von $640\text{ m}$ besitzt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich das Abspannseil im Modell durch einen Funktionsterm beschreiben.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

b) Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Das Tragseil verläuft im Modell gemäß dem Funktionsterm $$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die horizontal $40\text{ m}$ auseinander liegen und sich in der Höhe um $5\text{ m}$ unterscheiden.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höheren Punkts bestimmen lässt.

Abbildung 1 stellt in schematischer Form die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Ende der Fahrbahn verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

Das rechte Abspannseil wird durch folgenden Funktionsterm beschrieben: $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

(4)

Weisen Sie nach: $$r'(x) = -\frac{23}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}$$

(5)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung des rechten Abspannseils an der Stelle, an der es den zugehörigen Pfeiler erreicht, zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt.

Ja

Nein

Abbildung 1 stellt in schematischer Form die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Ende der Fahrbahn verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

Der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn schließen in der Seitenansicht ein Flächenstück ein.

Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in der Realität.