Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3 - 2\cdot x^2 + \frac{28}{3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Funktionsgraph von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt aufweist. [2 Punkte]

(2)

Begründen Sie, dass der Punkt $P\left(\frac{4}{3}\middle|\frac{28}{3}\right)$ auf der Tangente liegt, die den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ berührt. [1 Punkt]

(3)

Der Punkt $Q(4|-12)$ liegt auf dem Graphen von $f$. Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangential berührt. [2 Punkte]

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2\cdot (x-k)$, $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R}$, $k > 0$.

(1)

Geben Sie an, welche Nullstellen $f$ in Abhängigkeit von $k$ besitzt. [1 Punkt]

(2)

Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Inhalt $\frac{4}{3}\text{ FE}$ hat. [4 Punkte]

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x^2 + 4\cdot x - 5)\cdot \mathrm{e}^x,\ x \in \mathbb{R}$.

(1)

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion $f$.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x^2 + 4\cdot x - 5)\cdot \mathrm{e}^x,\ x \in \mathbb{R}$.

(2)

Es seien $a, b, c \in \mathbb{R}$. Die Funktion $F$ ist definiert durch

$$F(x) = (a \cdot x^2 + b \cdot x + c) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie anschließend mithilfe eines Vergleichs mit $f(x)$ die Gleichung einer Stammfunktion von $f$.

$F(x) =$

d) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = (2\cdot x - 1)\cdot e^{2\cdot x},\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -x\cdot e^{2\cdot x},\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen beider Funktionen.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

Außerdem sei die Funktion $D$ mit $D(x) = \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot e^{2\cdot x},\ x \in \mathbb{R}$, betrachtet.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion zur Differenzfunktion $d$ mit $d(x) = g(x) - f(x)$ darstellt.

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

e) Betrachtet werden die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ p \\ q \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ spannen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf.

Geben Sie dafür ein Beispiel an.

$p =$

$q =$

(2)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ ist das Rechteck, das von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannt wird, ein Quadrat.

Ermitteln Sie sämtliche Werte für $p$ und $q$, für die das zutrifft.

$p =$

$q =$

$p =$

$q =$

f) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Teil der Ebene $E$.

(1) (i)

Das in Abbildung 2 dargestellte Parallelogramm liegt in der Ebene $E$ und lässt sich beschreiben durch

$\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$, $a \le r \le b$, $c \le s \le d$,

Dabei sind $a, b, c$ und $d$ ganze Zahlen. Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte $a, b, c$ und $d$ an.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 die Punkte der Ebene $E$ ein, die entstehen, wenn in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ alle Werte mit $r \ge 0$, $s \ge 0$ und $r + s = 1$ eingesetzt werden.

(2)

Es gilt: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie eine Normalenform-Gleichung der Ebene $E$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Funktionenschar $g_a$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g_a(x)=(x+a)\cdot(x-a)\cdot e^x=(x^2-a^2)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$($

$\mid$

$)$

$($

$\mid$

$)$

a) (2)

Es gilt: $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot e^x$. Untersuchen Sie die Funktion $f$ rechnerisch auf Wendestellen und verwenden Sie dabei keine Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden.

a) (3)

(i) Weisen Sie nach: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot e^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch: $t: y = -e^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot e^{-1{,}5}$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$.

a) (4)

Außerdem haben der Graph von $f$ und die Tangente $t$ einen weiteren gemeinsamen Punkt.

FE

%

Teilaufgabe b)

b) (1)

Der Graph von $g_a$ hat an der Stelle $x_H$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x_T$ einen Tiefpunkt. Es gilt: $x_H < x_T$. Zeigen Sie: Die Tiefpunkte der Graphen der Schar liegen alle auf dem Graphen der Funktion $o$ mit der Gleichung $o(x) = -2\cdot x\cdot e^x$.

b) (2)

Die Punkte $P(-a \mid 0)$, $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ bilden für $-a < z < a$ das Dreieck $PQ_zR_z$.

FE

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung $h(x) = (x-1)\cdot x\cdot e^{x-0{,}5}, x \in \mathbb{R}$.

c) (1)

Der Graph von $h$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen von $f$ hervor. Geben Sie diese Transformation an.

c) (2)

Die Graphen der Funktionen $g_1$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $T$.

$($

$\mid$

$)$

c) (3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass er den Graphen von $g_1$ ebenfalls im Punkt $S(1 \mid 0)$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt. Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Funktionenschar $g_a$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g_a(x)=(x+a)\cdot(x-a)\cdot e^x=(x^2-a^2)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

a) (4) Neben dem bereits bekannten Punkt haben der Graph von $f$ und die Tangente $t$ noch einen weiteren Punkt gemeinsam.

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

(ii)

Die Fläche $A$ erstreckt sich teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Flächeninhalts von $A$ auf diese Teilfläche entfallen.

%

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Funktionenschar $g_a$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g_a(x)=(x+a)\cdot(x-a)\cdot e^x=(x^2-a^2)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

c) Die Funktion $h$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$h(x)=(x-1)\cdot x\cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Aus dem Graphen der Funktion $f$ lässt sich der Graph der Funktion $h$ durch eine Transformation gewinnen.

Geben Sie an, welche Transformation vorliegt.

(2)

Die Graphen von $g_1$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1\mid 0)$ sowie einen zweiten Schnittpunkt $T$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

$T($

$\mid$

$)$

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass der entstehende Graph ebenfalls durch $S(1\mid 0)$ verläuft und dort den Graphen von $g_1$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt.

Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere und der untere Rand werden in einem passenden Intervall durch die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

Im Normalfall liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt ihre Kniekehlen ungefähr in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht. Eine Liege gilt als bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr so groß ist wie der Abstand dieser beiden Punkte (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a)

a) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $g$. [Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x=1$ und $x=2$.]

$H($

$\mid$

$)$

$T($

$\mid$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, ohne Werte oder Zusammenhänge zu nutzen, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden.

a) (4)

Menschen mit $172\text{ cm}$ Körpergröße haben im Mittel eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen für eine bequeme Liege erfüllt.

Teilaufgabe b)

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) (1)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung für die Tangente $t$.

Teilaufgabe c)

Künftig wollen die Hersteller auch Liegen anbieten, die individuell auf die Körpergröße abgestimmt sind. Für den oberen Rand des Seitenteils verwenden sie dazu für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $k$ die lokalen Extremstellen des Graphen von $g_k$; die hinreichende Bedingung muss nicht überprüft werden. [Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $H_k\left(\frac{1}{k} \mid \frac{29}{30k}\right)$ und $T_k\left(\frac{2}{k} \mid \frac{19}{30k}\right)$.]

c) (2)

Weisen Sie nach, dass der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt des Graphen von $g_k$ folgenden Wert hat: $$d_k = \frac{\sqrt{10}}{3k}.$$

c) (3)

Bestimmen Sie $k$ so, dass bei einer Modellierung der Liegefläche durch $g_k$ die erste Bedingung für eine bequeme Liege für ein zehnjähriges Kind mit $140\text{ cm}$ Körpergröße und einer Oberschenkellänge von etwa $30\text{ cm}$ erfüllt ist.

c) (4)

Erläutern Sie, wie die Werte von $k$ variiert werden müssen, um bei Modellierung der Liegefläche mit $g_k$ eine Liege für große bzw. kleine Menschen zu bekommen.

c) (5)

Zeigen Sie, dass bei $g_k$ die Steigung an der Wendestelle nicht von $k$ abhängt und dass jede mit einer Funktion $g_k$ modellierte Liege die zweite Bedingung für bequeme Liegen erfüllt.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere und der untere Rand werden in einem passenden Intervall durch die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt des schraffierten Bereichs liegt bei ungefähr 1,25 FE.]

b) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist ein Pyramidenstumpf zu sehen. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ liegt. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

In Abbildung 2 ist ein Körper abgebildet, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird, während die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ unverändert bleibt. Abbildung 3 zeigt diesen Körper in der Draufsicht. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

Teilaufgabe b) (1)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob der Punkt $B_2$ zur Ebene $E$ gehört.

Ja

Nein

Teilaufgabe c) (1)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Teilaufgabe d) (1)

Der Punkt $H_1$ liegt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $h, 0 < h \le 10$.

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10} \cdot h \;\middle|\; 4 - \frac{2}{10} \cdot h \;\middle|\; h\right)$.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist ein Pyramidenstumpf zu sehen. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ liegt. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

In Abbildung 2 ist ein Körper abgebildet, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird, während die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ unverändert bleibt. Abbildung 3 zeigt diesen Körper in der Draufsicht. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $A_3$ besitzt.

(2)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Pyramidenstumpfes.

(3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 5 geschnitten wird.

Teilaufgabe b)

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

Teilaufgabe c)

(2) (i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.

Teilaufgabe d)

(2)

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ gilt: $F(h)=\frac{4}{5}\cdot h^2-\frac{64}{5}\cdot h+64$.

(3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat.

(4)

Für eine bestimmte Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu ausgewählte Gesichtsmerkmale mit gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

a) Während dieser Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 % irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

10 % der Videos, die in der Testphase zum Einsatz kommen, zeigen Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die geschilderte Situation ein beschriftetes zweistufiges Baumdiagramm.

(2)

(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson einstuft.

(ii) Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu ausgewählte Gesichtsmerkmale mit gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

b) Für eine Werbebroschüre sollen Aussagen über die Güte der Gesichtserkennungssoftware gesammelt werden. Hierfür braucht man Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Durch die Software wird in 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Zahl der Videos mit richtig als Zielperson erkannter Person höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die abgebildete Person richtig als Zielperson erkannt wird.

c) Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}8$ hat den Erwartungswert $\mu = 80$ und die Standardabweichung $\sigma = 4$.

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt aus dem Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt. Darüber hinaus ist auch der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ abgebildet.

Die Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ kann zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße $X$ genutzt werden.

Die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ kann näherungsweise durch

$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$

berechnet werden.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum die Integrationsgrenzen so gewählt sind.

e) Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens 90 von 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die abgebildete Person richtig als Zielperson erkannt wird.

%

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu ausgewählte Gesichtsmerkmale mit gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

Auch ein weiterer Hersteller vertreibt eine Gesichtserkennungssoftware. Nach seiner Angabe liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei 90 %.

Eine Sicherheitsingenieurin will die Angabe des Herstellers mithilfe eines Hypothesentests zum Signifikanzniveau von 10 % überprüfen. Sie will dabei möglichst ausschließen, dem Hersteller fälschlich vorzuwerfen, die Trefferwahrscheinlichkeit liege unter dem angegebenen Wert, obwohl sie in Wirklichkeit 90 % beträgt oder höher ist.

(1)

Entscheiden Sie begründet, ob sich die Sicherheitsingenieurin für die Nullhypothese $H_0: p < 0{,}9$ oder die Nullhypothese $H_0: p \ge 0{,}9$ entscheiden sollte. [2 Punkte]

A

$H_0: p \ge 0{,}9$

B

$H_0: p < 0{,}9$

(2)

Zur Überprüfung ihrer Nullhypothese lässt die Sicherheitsingenieurin 200 zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen.

Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel für diesen Hypothesentest. [3 Punkte]

Bei der Skoliose, einer Erkrankung der Wirbelsäule, ist diese nicht gerade, sondern mehrere Wirbel formen eine Krümmung (siehe Abbildung 1). Man erkennt die Krümmung auf Röntgenbildern. Anhand dieser Aufnahmen wird über das weitere Vorgehen bei der Behandlung entschieden.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\quad x \in \mathbb{R}.$$Eine Einheit im Koordinatensystem steht dabei für einen Dezimeter (dm).

Die x-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über die weitere Behandlung ermittelt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$, den sogenannten Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Ein Cobb-Winkel von mehr als 70° kann als Nebenwirkung Kurzatmigkeit verursachen. Einer Studie zufolge muss man bei einem Cobb-Winkel unter 70° nicht mit einer Beeinträchtigung der Atemwege rechnen.

a) (1)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = -1{,}6x \cdot \mathrm{e}^{-x^2}$ gilt. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$.

| $)$

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts im Kontext der Aufgabe.

a) (2)

(i) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Der Punkt $W_1\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\middle|f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $f$ im II. Quadranten.

(ii) Zeigen Sie, dass die Gerade $t_1$ mit $t_1: y = 0{,}8 \cdot \sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5} \cdot x + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W_1$ ist.

(iii) Geben Sie den zweiten Wendepunkt $W_2$ und eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W_2$ an.

$W_2($ | $)$

a) (3)

Der Cobb-Winkel kann mit der Formel $$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$ aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Wendetangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose mit einer Beeinträchtigung der Atemwege zu rechnen ist.

c)

Für einige weitere Skoliose-Patienten konnte der Verlauf der Wirbelsäule durch eine Funktion $h_k$ mit $$h_k(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x^2}, \quad k > 0, \; x \in \mathbb{R}$$ beschrieben werden. In einem vereinfachten Ansatz zur Analyse der Skoliose soll die maximale Steigung des Graphen der Funktion $h_k$ betrachtet werden. Diese liegt an der Stelle $x_W = -\frac{1}{\sqrt{2k}}$ vor. Wenn die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$, ist ein besonderes Therapieprogramm erforderlich.

(1) Berechnen Sie $h_k'(x)$ und bestimmen Sie die maximale Steigung des Graphen von $h_k$ abhängig von $k$.

(2) Ermitteln Sie, für welche Werte von $k > 0$ die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$.

d)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 6).

Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob sich durch diese Veränderung ein größerer oder ein kleinerer Wert für den Winkel ergibt.

Bei der Skoliose, einer Erkrankung der Wirbelsäule, ist diese nicht gerade, sondern mehrere Wirbel formen eine Krümmung (siehe Abbildung 1). Man erkennt die Krümmung auf Röntgenbildern. Anhand dieser Aufnahmen wird über das weitere Vorgehen bei der Behandlung entschieden.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\quad x \in \mathbb{R}.$$Eine Einheit im Koordinatensystem steht dabei für einen Dezimeter (dm).

Die x-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über die weitere Behandlung ermittelt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$, den sogenannten Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Ein Cobb-Winkel von mehr als 70° kann als Nebenwirkung Kurzatmigkeit verursachen. Einer Studie zufolge muss man bei einem Cobb-Winkel unter 70° nicht mit einer Beeinträchtigung der Atemwege rechnen.

b)

Skoliosen können unter anderem mit einem Korsett behandelt werden. Beim Herstellen eines Korsetts kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche, die mit diesem speziellen Material versehen wird, ist in Abbildung 4 schraffiert gezeichnet.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt desjenigen Bereichs, der mit dem speziellen Material versehen wird.