Aufgabe B1 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5) \cdot e^x$.

Teilaufgabe b

b) (1)

Zur Ermittlung einer Stammfunktion $F$ von $f$ ist der folgende Ansatz geeignet:

$F(x) = (a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d)\cdot e^x$; $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$.

Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit $f(x)$ ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a$, $b$, $c$, $d$.

[Die Koeffizienten müssen nicht berechnet werden.]

Eine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ ist gegeben durch:

$$F(x) = (x^3 - 3x^2 + 6x - 11)\cdot e^x$$

b) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Gebiets, das im 4. Quadranten vom Graphen von $f$ und den Koordinatenachsen begrenzt wird.

b) (3)

Die Gleichung $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ besitzt für $z \neq 0$ ausschließlich die Lösung $z \approx 2{,}271$.

Interpretieren Sie diese Lösung geometrisch.

b) (4)

Im 3. Quadranten schließen für $x \le 0$ die Koordinatenachsen und der Graph von $f$ eine Fläche ein, die sich unbegrenzt nach links erstreckt, aber einen endlichen Flächeninhalt hat.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

b) (5)

Die Punkte $O(0\mid 0)$, $N(-5\mid 0)$, $Y(0\mid -5)$ spannen das Dreieck $ONY$ auf. Der Graph von $f$ verläuft teilweise im Inneren dieses Dreiecks und umschließt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i) Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein.

[Hinweis: Abbildung 2 stimmt mit Abbildung 1 überein.]

(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche $A$.