Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gradlinig verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweist (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung sichtbar und dient als Grundlage dafür, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \leq x \leq 5$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung bestimmt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$; dieser heißt Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird meist zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel $50^\circ$ übersteigt; ansonsten soll ein Korsett 1 getragen werden.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.

a)

(1) Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten der zwei Extrempunkte des Graphen von $f$ und geben Sie deren Art an; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts bezogen auf den Sachzusammenhang.

(2) (i) Ermitteln Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$ und runden Sie dabei auf vier Nachkommastellen.

(ii) Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49|f(0{,}49))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Im Wendepunkt $W_2(2{,}85|0{,}44)$ besitzt die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung wird der Winkel $\alpha$ zwischen den Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ herangezogen, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird üblicherweise zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel über $50^\circ$ liegt; sonst sollte ein Korsett getragen werden.

(3) Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

ermittelt werden, wobei $m_1$ bzw. $m_2$ die Steigungen der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ sind.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose eine Operation empfohlen wird.

c)

Ein Arzt erwägt, anstelle des Cobb-Winkels zwischen den Wendepunkttangenten den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel zu nutzen, auf denen die Wendepunkte liegen.

Konkret heißt das: Anstelle der Tangente in $W_1$ dient die Tangente im Punkt $P_1$, der auf dem Graphen von $f$ weiter links liegt. Entsprechend wird statt der Tangente in $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ genommen, der auf dem Graphen von $f$ weiter rechts liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob der Winkel durch diese Änderung größer oder kleiner wird.