Aufgabe a) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

(1) Weisen Sie nach, dass der Funktionsgraph von f an der Stelle x = 0 einen lokalen Hochpunkt aufweist.

Lösung: $f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x$, $f''(x) = x - 4$ Wegen $f'(0) = 0$ und $f''(0) = -4 < 0$ liegt an der Stelle $x = 0$ eine lokale Maximalstelle vor.

(2) Begründen Sie, dass der Punkt P(4/3 | 28/3) auf der Tangente liegt, die den Graphen von f an der Stelle x = 0 berührt.

Lösung: Da $H\left(0\middle|\frac{28}{3}\right)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist, verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $H$ waagerecht (Gleichung: $y = \frac{28}{3}$) und daher offensichtlich durch den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\middle|\frac{28}{3}\right)$.

(3) Der Punkt Q(4|-12) liegt auf dem Graphen von f. Zeigen Sie, dass die Gerade durch P und Q den Graphen von f im Punkt Q tangential berührt.

Lösung: Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ hat die Steigung: $$\frac{\frac{28}{3} - (-12)}{\frac{4}{3} - 4} = \frac{\frac{64}{3}}{-\frac{8}{3}} = -8$$ Da $f'(4) = \frac{1}{2}\cdot 4^2 - 4\cdot 4 = -8$ gilt, ist sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.