Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere und der untere Rand werden in einem passenden Intervall durch die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

Im Normalfall liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt ihre Kniekehlen ungefähr in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht. Eine Liege gilt als bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr so groß ist wie der Abstand dieser beiden Punkte (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a)

a) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $g$. [Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x=1$ und $x=2$.]

$H($

$\mid$

$)$

$T($

$\mid$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, ohne Werte oder Zusammenhänge zu nutzen, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden.

a) (4)

Menschen mit $172\text{ cm}$ Körpergröße haben im Mittel eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen für eine bequeme Liege erfüllt.

Teilaufgabe b)

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) (1)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung für die Tangente $t$.

Teilaufgabe c)

Künftig wollen die Hersteller auch Liegen anbieten, die individuell auf die Körpergröße abgestimmt sind. Für den oberen Rand des Seitenteils verwenden sie dazu für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $k$ die lokalen Extremstellen des Graphen von $g_k$; die hinreichende Bedingung muss nicht überprüft werden. [Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $H_k\left(\frac{1}{k} \mid \frac{29}{30k}\right)$ und $T_k\left(\frac{2}{k} \mid \frac{19}{30k}\right)$.]

c) (2)

Weisen Sie nach, dass der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt des Graphen von $g_k$ folgenden Wert hat: $$d_k = \frac{\sqrt{10}}{3k}.$$

c) (3)

Bestimmen Sie $k$ so, dass bei einer Modellierung der Liegefläche durch $g_k$ die erste Bedingung für eine bequeme Liege für ein zehnjähriges Kind mit $140\text{ cm}$ Körpergröße und einer Oberschenkellänge von etwa $30\text{ cm}$ erfüllt ist.

c) (4)

Erläutern Sie, wie die Werte von $k$ variiert werden müssen, um bei Modellierung der Liegefläche mit $g_k$ eine Liege für große bzw. kleine Menschen zu bekommen.

c) (5)

Zeigen Sie, dass bei $g_k$ die Steigung an der Wendestelle nicht von $k$ abhängt und dass jede mit einer Funktion $g_k$ modellierte Liege die zweite Bedingung für bequeme Liegen erfüllt.