Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Das Rechteck $A_1A_2A_3A_4$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene, das Rechteck $B_1B_2B_3B_4$ liegt in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die parallel zur $x_1x_3$-Ebene sind.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro plant ein neues Hotel aus drei gleichförmigen Gebäuden und nutzt dafür ein mathematisches Modell, in dem $K$ enthalten ist (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; Gebäude II und III entstehen jeweils durch eine Drehung von Gebäude I um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

Teilaufgabe c)

c) (1)

Begründen Sie, dass

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -40 \\ 10 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R},$$

die Ebene beschreibt, in der die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

c) (2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0|0|35)$. Zu einem gewissen Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

ein.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

$Q($

$|$

$|$

$)$