Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Funktionenschar $g_a$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g_a(x)=(x+a)\cdot(x-a)\cdot e^x=(x^2-a^2)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$($

$\mid$

$)$

$($

$\mid$

$)$

a) (2)

Es gilt: $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot e^x$. Untersuchen Sie die Funktion $f$ rechnerisch auf Wendestellen und verwenden Sie dabei keine Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden.

a) (3)

(i) Weisen Sie nach: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot e^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch: $t: y = -e^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot e^{-1{,}5}$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$.

a) (4)

Außerdem haben der Graph von $f$ und die Tangente $t$ einen weiteren gemeinsamen Punkt.

FE

%

Teilaufgabe b)

b) (1)

Der Graph von $g_a$ hat an der Stelle $x_H$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x_T$ einen Tiefpunkt. Es gilt: $x_H < x_T$. Zeigen Sie: Die Tiefpunkte der Graphen der Schar liegen alle auf dem Graphen der Funktion $o$ mit der Gleichung $o(x) = -2\cdot x\cdot e^x$.

b) (2)

Die Punkte $P(-a \mid 0)$, $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ bilden für $-a < z < a$ das Dreieck $PQ_zR_z$.

FE

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung $h(x) = (x-1)\cdot x\cdot e^{x-0{,}5}, x \in \mathbb{R}$.

c) (1)

Der Graph von $h$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen von $f$ hervor. Geben Sie diese Transformation an.

c) (2)

Die Graphen der Funktionen $g_1$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $T$.

$($

$\mid$

$)$

c) (3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass er den Graphen von $g_1$ ebenfalls im Punkt $S(1 \mid 0)$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt. Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.