Aufgabe B2 - Transformationen und Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit

$$f(x) = g(k\cdot x) = \frac{2}{3}(k\cdot x)^3 - 3(k\cdot x)^2 + 4(k\cdot x) - 0{,}7,\quad x \in \mathbb{R}.$$ Durch die Wahl eines passenden Wertes von $k$ soll mit der Funktion $f$ die Liegefläche einer Kinderliege beschrieben werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind. (3 Punkte)