Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \text{ | } {-5} \text{ | } 0)$,

$A_2(50 \text{ | } 5 \text{ | } 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; {-5} \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \text{ | } 5 \text{ | } 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt.

(

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)

a) (2)

Begründen Sie, weshalb es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie den Rauminhalt des Körpers $K$. [1 + 2 Punkte]

VE

Teilaufgabe b (2)

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell für die Planung eines Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Alle Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die folgende Parametergleichung beschrieben:

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad 0 \le r \le 1,\ 0 \le s \le 3$$

Der Balkon wird von zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$ getragen. Berechnen Sie die Länge der Stütze $s_1$. [4 Punkte]

Teilaufgabe c

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

c) (1)

Ermitteln Sie durch Rechnung, welche Koordinaten der Punkt $P$ besitzt. [3 Punkte]

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

(

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c) (2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. [2 Punkte]

LE