Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Laut Etikett enthält jede Flasche $600\text{ ml}$.

a) Jeweils zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft bezeichnet, wenn darin mehr als eine Flasche mit weniger als $600\text{ ml}$ Öl ist. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ löst im Sachzusammenhang eine bestimmte Aufgabe.

Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabe und erläutern Sie, wie der Rechenansatz zustande kommt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Flaschen genau drei weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten.

(3)

Die Flaschen werden nacheinander geöffnet und ihre Füllmenge wird kontrolliert.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst die vierte geöffnete Flasche die erste kontrollierte mit weniger als $600\text{ ml}$ Öl ist.

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig eine gleichbleibende Anzahl an Flaschen geliefert. Im Mittel haben davon mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl.

Ermitteln Sie, wie viele Flaschen eine regelmäßige Lieferung mindestens enthält.

(5)

Ein Supermarkt wird mit $150$ Kartons beliefert.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

b) Für die Füllmenge der Flaschen gelte eine Normalverteilung mit Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$A$: „Die Flasche enthält mehr als $601\text{ ml}$ Öl.“

$B$: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\text{ ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die zur Modellierung genutzte Normalverteilung ist allerdings auch für negative reelle Zahlen erklärt und liefert dort ausschließlich positive Werte.

Begründen Sie, warum der Einsatz der Normalverteilung trotzdem sinnvoll ist.

(3)

Der Betrieb will die Wahrscheinlichkeit senken, dass eine Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Für die dafür nötige Anpassung der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird heraufgesetzt.

Vorschlag 2: Die Präzision, mit der die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ eingehalten wird, wird gesteigert.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen beide den Graphen der Dichtefunktion, mit der die Füllmenge der Flaschen vor der Anpassung der Maschine beschrieben wird.

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion nach Umsetzung von Vorschlag 1 und in Abbildung 2 einen passenden Graphen für Vorschlag 2.

Begründen Sie für jeden der Vorschläge anhand Ihres skizzierten Graphen, dass das Ziel des Betriebs erreicht wird.