Aufgabe B2 - Funktionen und Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit

$$f(x) = g(k\cdot x) = \frac{2}{3}(k\cdot x)^3 - 3(k\cdot x)^2 + 4(k\cdot x) - 0{,}7,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Durch einen passend gewählten Wert von $k$ in der Funktion $f$ soll die Liegefläche einer Kinderliege modelliert werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind.