Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

In Abbildung 1 ist die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dargestellt. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern liegen 400 m. Die Fahrbahn befindet sich 20 m über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Das jeweilige Ende der Fahrbahn dient als Verankerung der beiden Abspannseile.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 10 m in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse folgt in der Seitenansicht der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse der Symmetrieachse der Brücke.

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$dargestellt.

Der Verlauf des Tragseils im mittleren Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

a) Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils näherungsweise mit dem Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

modelliert.

(4)

Weisen Sie die folgende Gleichung nach:

$$r'(x) = -\frac{23}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}$$

(5)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung des rechten Abspannseils an der Stelle, an der es auf den zugehörigen Pfeiler trifft, im Bereich zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt.

Liegt der Wert zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$?

Ja

Nein