Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

a) (2)

Für jedes $b \in \mathbb{R}, b > 0$, gilt $\int_{-b}^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Erklären Sie dieses Ergebnis.

a) (5) (i)

Außer $P$ besitzen die Tangente $t$ und $G_f$ lediglich den Punkt $Q(-12|f(-12))$ als gemeinsamen Punkt.

Geben Sie eine Gleichung für eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x) = f(x) - \left(\frac{8}{3}x - 16\right)$ an und berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das von $G_f$ und $t$ begrenzt wird.

a) (5) (ii)

Die $y$-Achse teilt die Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten, von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Fläche hat.