Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Nachtermin · CAS

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{6}\cdot x^3 - 2\cdot x^2 + \frac{28}{3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt besitzt.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ den Punkt $P\left(\frac{4}{3} \Big| \frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Punkt $Q(4|-12)$ ist ein Punkt des Graphen von $f$. Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangential berührt.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2\cdot (x - k)$, $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R}$, $k > 0$.

(1)

Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die Nullstellen der Funktion $f$ an.

(2)

Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Flächeninhalt $\frac{4}{3}$ FE hat.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x^2 + 4 \cdot x - 5) \cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Berechnen Sie sämtliche Nullstellen von $f$.

$x_1 =$

$x_2 =$

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x^2 + 4 \cdot x - 5) \cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$.

(2) Gegeben sind $a, b, c \in \mathbb{R}$ und die Funktion $F$ mit der Gleichung$$F(x) = (a\cdot x^2 + b\cdot x + c)\cdot e^x, \; x \in \mathbb{R}.$$Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie anhand eines Vergleichs mit $f(x)$ die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $f$.

$F'(x) = ($ $)\cdot e^x$

$F(x) =$

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x) = (2\cdot x - 1)\cdot e^{2x}, \; x \in \mathbb{R},$$und$$g(x) = -x\cdot e^{2x}, \; x \in \mathbb{R}.$$Die Graphen der beiden Funktionen sind in Abbildung 1 dargestellt.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die beiden Funktionsgraphen sich nur an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

$x =$

Außerdem ist die Funktion $D$ mit $D(x) = \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot e^{2x}, \; x \in \mathbb{R}$, vorgegeben.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion zur Differenzfunktion $d$ mit $d(x) = g(x) - f(x)$ darstellt.

$D'(x) =$

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

$A =$

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ p \\ q \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Für passende Werte von $p$ und $q$ spannen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf.

Geben Sie dafür ein mögliches Wertepaar an.

$p =$

$q =$

(2)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ ist das von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannte Rechteck sogar ein Quadrat.

Ermitteln Sie sämtliche möglichen Werte von $p$ und $q$.

$p_1 =$

$q_1 =$

$p_2 =$

$q_2 =$

f) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Teil der Ebene $E$.

(1) (i)

In Abbildung 2 sieht man ein Parallelogramm, das in der Ebene $E$ liegt. Es lässt sich darstellen durch $$\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ a \le r \le b,\ c \le s \le d,$$ wobei $a, b, c$ und $d$ ganzzahlig sind.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte $a, b, c$ und $d$ an.

(ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 alle Punkte der Ebene $E$ ein, die man erhält, wenn man in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ jeweils sämtliche Werte mit $r \ge 0,\ s \ge 0$ und $r + s = 1$ einsetzt.

(2)

Gegeben sei: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Normalenform.

e) Für eine neue Mandarinensorte gilt: Eine zufällig gewählte Mandarine enthält nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ Kerne. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele Mandarinen in einer Kiste mit $100$ Mandarinen Kerne enthalten.

(1)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung von $X$.

(2)

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem Term $\begin{pmatrix} 100 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^{96}$ bestimmen lässt.

(3)

Begründen Sie mithilfe eines passenden Terms, dass es nahezu sicher ist, dass in einer Kiste mit $100$ Mandarinen mindestens eine Mandarine keine Kerne hat; die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt also nahezu $1$.

An einer Würfelbude auf einem Schulfest wird das folgende Spiel angeboten:

Wer 0,50 € einsetzt, darf dreimal mit einem handelsüblichen Würfel werfen. Jede geworfene 6 wird mit 1 € ausgezahlt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den ausgezahlten Betrag.

(1)

Geben Sie in der nachstehenden Tabelle die Wahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ an:

$k$

$0\text{ €}$

$1\text{ €}$

$2\text{ €}$

$3\text{ €}$

$P(X = k)$

(2)

Ermitteln Sie den minimalen Einsatz pro Spiel, bei dem die Betreiber der Würfelbude langfristig einen Gewinn erzielen.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist eine Schar von Funktionen $g_a$ durch die Gleichung$$g_a(x) = (x + a) \cdot (x - a) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Betrachtet wird die Funktion $h$ mit der Gleichung$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte.

Bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

Hochpunkt:

$E_1($

$|$

$)$

Tiefpunkt:

$E_2($

$|$

$)$

a) (2)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen, wobei Sie keine aus Funktionsgraphen entnommenen Werte oder Zusammenhänge heranziehen dürfen, und berechnen Sie anschließend die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$.

Erster Wendepunkt:

$W_1($

$|$

$)$

Zweiter Wendepunkt:

$W_2($

$|$

$)$

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -e^{-1,5} \cdot x + 0,5 \cdot e^{-1,5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1,5 \mid f(-1,5))$ ist.

Teilaufgabe b)

b) (1) (i)

Zeigen Sie:

Der Graph jeder Funktion der Schar besitzt genau einen Hochpunkt sowie genau einen Tiefpunkt.

b) (1) (ii)

Zeigen Sie:

Sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf dem Graphen der Funktion $o$ mit $o(x) = -2 \cdot x \cdot e^x$.

b) (3) (i)

Für $-a < z < a$ spannen die Punkte $P(-a \mid 0)$, $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$ auf.

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B_a$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ in Abhängigkeit von $z$ mit der Gleichung

$$B_a(z) = -0,5 \cdot (z + a)^2 \cdot (z - a) \cdot e^z$$

berechnen lässt.

b) (3) (ii)

Bestimmen Sie für $a = 1$ den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist eine Schar von Funktionen $g_a$ durch die Gleichung$$g_a(x) = (x + a) \cdot (x - a) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Betrachtet wird die Funktion $h$ mit der Gleichung$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

a) (4) (i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

FE

a) (4) (ii)

Die Fläche $A$ erstreckt sich teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Inhalts der Fläche $A$ auf diese Teilfläche entfallen.

%

b) (2)

Der Graph von $g_a$ und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche, die von der $y$-Achse in zwei Teilflächen geteilt wird.

Untersuchen Sie, ob ein Parameter $a > 0$ existiert, für den die Teilfläche rechts der $y$-Achse doppelt so groß ist wie die Teilfläche links der $y$-Achse.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist eine Schar von Funktionen $g_a$ durch die Gleichung$$g_a(x) = (x + a) \cdot (x - a) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Betrachtet wird die Funktion $h$ mit der Gleichung$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot e^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Der Graph von $h$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen der Funktion $f$ hervor. Geben Sie an, welche Transformation das ist. [2 Punkte]

(2)

Die Graphen der Funktionen $g_1$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ und einen weiteren Schnittpunkt $T$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $T$. [2 Punkte]

$T($ $\mid$ $)$

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass der entstehende Graph den Graphen von $g_1$ ebenfalls im Punkt $S(1 \mid 0)$ schneidet, aber nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt. Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an. [3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Kubikzentimeter ($1\text{ cm}^3$) dieses Holzes wiegt $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt ein Modell des Längsschnitts eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ modelliert.

Die Funktionen $g$ und $h$, deren Graphen den oberen und unteren Rand in einem passenden Intervall beschreiben, sind gegeben durch:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Normalerweise liegt man so auf der Liege, dass sich im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt befinden, der im Modell dem lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ entspricht. Das Gesäß liegt dann etwa im Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung) und zudem die Steigung zwischen diesen Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt die Kniekehlen etwa an dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa an dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr so groß ist wie der Abstand dieser beiden Punkte (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

a)

(1) Ermitteln Sie die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts des Graphen von $g$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $x=1$ und $x=2$.]

(2) Berechnen Sie, wie weit Hoch- und Tiefpunkt voneinander entfernt sind.

(3) Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, ohne Werte oder Zusammenhänge zu nutzen, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden.

(4) Menschen mit einer Körpergröße von $172\text{ cm}$ haben im Mittel eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen einer bequemen Liege erfüllt.

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

(2) Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung 3) unter Angabe der benötigten Integrale.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

(3) Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

c)

Am Seitenteil soll eine Leiste $v$ angebracht werden, die parallel zur $y$-Achse verläuft (siehe Abbildung 3). Die Leiste soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ angebracht werden, an der die vertikale Entfernung (Entfernung in $y$-Richtung) zwischen dem oberen Rand und dem unteren Rand des Seitenteils maximal ist.

Ermitteln Sie die maximale vertikale Entfernung zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrempunkte des Graphen von $g_k$ in Abhängigkeit von $k$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen von $g_k$ sind $x = \frac{1}{k}$ und $x = \frac{2}{k}$.]

(2) Bestimmen Sie $k$ so, dass bei Modellierung der Liegefläche mit der Funktion $g_k$ die erste Bedingung für eine bequeme Liege für ein zehnjähriges Kind der Körpergröße $140\text{ cm}$ mit der Oberschenkellänge von ca. $30\text{ cm}$ erfüllt ist.

(3) Erläutern Sie, wie die Werte von $k$ variiert werden müssen, um bei Modellierung der Liegefläche mit $g_k$ eine Liege für große bzw. kleine Menschen zu bekommen.

(4) Zeigen Sie, dass für die Funktion $g_k$ die Steigung an der Wendestelle unabhängig von $k$ ist und dass alle mit einer Funktion $g_k$ modellierten Liegen die zweite Bedingung für bequeme Liegen erfüllen.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Kubikzentimeter ($1\text{ cm}^3$) dieses Holzes wiegt $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt ein Modell des Längsschnitts eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ modelliert.

Die Funktionen $g$ und $h$, deren Graphen den oberen und unteren Rand in einem passenden Intervall beschreiben, sind gegeben durch:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Normalerweise liegt man so auf der Liege, dass sich im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt befinden, der im Modell dem lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ entspricht. Das Gesäß liegt dann etwa im Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung) und zudem die Steigung zwischen diesen Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b)

(2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Die schraffierte Fläche hat einen Inhalt von etwa $1{,}25\text{ FE}$.]

(3)

Berechnen Sie die Masse eines einzelnen Seitenteils der optimierten Liege.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper in der Draufsicht zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

b) (1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(ii)

Untersuchen Sie durch eine Rechnung, ob $B_2$ auf der Ebene $E$ liegt.

(2)

Berechnen Sie, welchen Winkel die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

°

c) Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper in der Draufsicht zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $A_3$ besitzt.

a) (2)

Berechnen Sie, welches Volumen der Pyramidenstumpf hat.

a) (3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, die entsteht, wenn der Pyramidenstumpf in der Höhe 5 von einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene geschnitten wird.

b) (1) (i)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$. Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

b) (1) (ii)

Untersuchen Sie durch eine Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

°

c) (1)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

c) (2) (i)

Bestimmen Sie mithilfe von (I), (II) und (III) die Werte von $r$ und $s$.

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.

d) (1)

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10}\cdot h \;\middle|\; 4 - \frac{2}{10}\cdot h \;\middle|\; h\right)$.

d) (2)

Zeigen Sie: Der Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ beträgt $F(h) = \frac{4}{5}\cdot h^2 - \frac{64}{5}\cdot h + 64$.

d) (3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat.

d) (4)

In einer bestimmten Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper in der Draufsicht zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

d) $H_1$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

Die Punkte $H_1H_2H_3H_4$ bilden in jeder Höhe $h$, $0 < h \le 10$, ein Quadrat. Der Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ beträgt

$$F(h) = \frac{4}{5}h^2 - \frac{64}{5}h + 64.$$

(3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt besitzt.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen werden Fotos in einer Datenbank hinterlegt; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank liegen, heißen Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

a) In der Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ korrekt als Zielperson. Im Weiteren wird diese Wahrscheinlichkeit Trefferwahrscheinlichkeit genannt.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\,\%$ irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

$10\,\%$ der in der Testphase verwendeten Videos zeigen Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die geschilderte Situation ein beschriftetes Baumdiagramm mit zwei Stufen.

(2)

(i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson einstuft.

(ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen werden Fotos in einer Datenbank hinterlegt; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank liegen, heißen Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Die Software stuft bei 50 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen in mehr als 40 Videos die abgebildete Person korrekt als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit korrekter Einstufung der abgebildeten Person als Zielperson höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die abgebildete Person korrekt als Zielperson eingestuft wird.

c) Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}8$ hat den Erwartungswert $\mu = 80$ und die Standardabweichung $\sigma = 4$.

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Histogramms der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Zusätzlich ist der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ eingezeichnet.

Mit der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße $X$ abschätzen.

Näherungsweise lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ mit

$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$

berechnen.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum diese Integrationsgrenzen gewählt werden.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen werden Fotos in einer Datenbank hinterlegt; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank liegen, heißen Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

d) Ein weiterer Anbieter vertreibt ebenfalls eine Gesichtserkennungssoftware. Nach Angabe des Anbieters liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei $90\,\%$.

Eine Sicherheitsingenieurin will die Angabe des Anbieters mit einem Hypothesentest zum Signifikanzniveau $10\,\%$ überprüfen. Sie will dabei möglichst ausschließen, dem Anbieter zu Unrecht vorzuwerfen, die Trefferwahrscheinlichkeit liege unter dem angegebenen Wert, obwohl sie in Wirklichkeit $90\,\%$ beträgt oder höher ist.

(1)

Entscheiden Sie begründet, ob sich die Sicherheitsingenieurin für die Nullhypothese $H_0: p < 0{,}9$ oder die Nullhypothese $H_0: p \ge 0{,}9$ entscheiden sollte.

$H_0: p \ge 0{,}9$

$H_0: p < 0{,}9$

Zur Überprüfung ihrer Nullhypothese lässt die Sicherheitsingenieurin $200$ zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen.

(2)

Bestimmen Sie für den zuvor beschriebenen Hypothesentest eine Entscheidungsregel.

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweisen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern lässt sich diese Krümmung sehen, und anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Wirbelsäulenverlauf einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sind das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule und der Graph von $f$ zu sehen.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts am Graphen von $f$.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts im Kontext der Aufgabe.

$H($

$\mid$

$)$

a) (2)

(i) Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Graph von $f$ symmetrisch zur $y$-Achse verläuft.

Der Punkt $W_1\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \;\middle|\; f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $f$ im II. Quadranten.

(ii) Zeigen Sie, dass die Gerade $t_1$ mit $t_1: y = 0{,}8 \cdot \sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \cdot x + 1{,}6 \cdot e^{-0{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W_1$ ist.

(iii) Geben Sie den zweiten Wendepunkt $W_2$ und eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W_2$ an.

$W_2($

$\mid$

$)$

a) (3)

Cobb-Winkel von mehr als $70^\circ$ können als Nebenwirkung zu Kurzatmigkeit führen. Laut einer Studie ist bei einem Cobb-Winkel von kleiner als $70^\circ$ nicht von einer Beeinträchtigung der Atemwege auszugehen.

Der Cobb-Winkel kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Wendetangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose von einer Beeinträchtigung der Atemwege auszugehen ist.

°

Teilaufgabe c)

Für einige weitere Skoliose-Patienten konnte der Verlauf der Wirbelsäule durch eine Funktion $h_k$ mit

$$h_k(x) = 0{,}8 \cdot e^{-k \cdot x^2}, \quad k > 0, \; x \in \mathbb{R}$$

beschrieben werden.

In einem vereinfachten Ansatz zur Analyse der Skoliose soll die maximale Steigung des Graphen der Funktion $h_k$ betrachtet werden. Wenn die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$, ist ein besonderes Therapieprogramm erforderlich.

c) (1)

Bestimmen Sie die maximale Steigung des Graphen von $h_k$ abhängig von $k$.

c) (2)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $k > 0$ die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$.

$k >$

Teilaufgabe d)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 6).

d)

Beurteilen Sie, ohne weiter zu rechnen, ob diese Änderung zu einem größeren oder einem kleineren Winkel führt.

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweisen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern lässt sich diese Krümmung sehen, und anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Wirbelsäulenverlauf einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sind das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule und der Graph von $f$ zu sehen.

a) (2) (i)

Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Graph von $f$ symmetrisch zur $y$-Achse verläuft.

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweisen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern lässt sich diese Krümmung sehen, und anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Wirbelsäulenverlauf einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sind das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule und der Graph von $f$ zu sehen.

b) Skoliosen können unter anderem mit einem Korsett 1 behandelt werden.

Bei der Herstellung eines Korsetts kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. In Abbildung 4 ist die Fläche, auf der dieses spezielle Material eingesetzt wird, schraffiert eingezeichnet.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, auf der das spezielle Material eingesetzt wird.

[4 Punkte]