Aufgabe B2 - Teilaufgabe c (4) · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Der Wendepunkt ihres Graphen $G_f$ ist $(0|0)$.

(4) Abbildung 2 zeigt modellhaft, wie sich die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres entwickelt.

(i)

Begründen Sie, weshalb eine ganzrationale Funktion, die den in Abbildung 2 gezeigten Verlauf modelliert, mindestens vom Grad 4 sein sollte.

Zur Modellierung des Verlaufs dient eine ganzrationale Funktion $h$ mit $$h(x) = a\cdot x^4 + b\cdot x^3 + c\cdot x^2 + d\cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\quad a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$ Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Monaten, die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangen ist, und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C.

(ii)

Die Modellierung mit der Funktion $h$ soll die folgenden Bedingungen erfüllen:

Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x = 1$ vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^\circ\text{C}$ liegt bei $x = 7$ vor. Bei $x = 10{,}5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $-4{,}2^\circ\text{C}$ pro Monat am schnellsten ab.

Stellen Sie anhand dieser Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem $a$, $b$, $c$, $d$ und $e$ berechnet werden können.

[Die Werte müssen nicht berechnet werden.]