Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Aufgabe B2 – Teilaufgaben a(1), b und c(1)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt $(0|0)$ verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

b)

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um $6$ in positive $x$-Richtung.

Verschieben um $14$ in positive $y$-Richtung.

Dabei kommt jeder Schritt genau einmal vor; lediglich die Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Geben Sie die Anzahl der verschiedenen neuen Graphen an, die sich auf diese Weise aus $G_f$ erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe.