Aufgabe B3 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Bei $A_1A_2A_3A_4$ handelt es sich um ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

c)

(1)

Begründen Sie, dass $$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -40 \\ 10 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R},$$

diejenige Ebene beschreibt, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0|0|35)$. Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

$Q($

$|$

$|$

$)$

Ja

Nein