Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Das äußere Ende jedes Abspannseils ist am Ende der Fahrbahn befestigt.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Teilaufgabe a)

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100}\cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Fahrbahn der Brücke $640\text{ m}$ beträgt.

LE

(2)

Der Verlauf des Abspannseils im linken Brückenabschnitt lässt sich im Modell ebenfalls durch einen Funktionsterm beschreiben. Geben Sie dafür einen geeigneten Term $l(x)$ und das Intervall an, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

[; ]

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

(4)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an der Stelle, an der sie jeweils auf ihren Pfeiler treffen, zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

Ja

Nein

(5)

Der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn schließen in der Seitenansicht ein Flächenstück ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in der Realität.

Teilaufgabe b)

Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Die senkrechten Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Zu den Pfeilern und zueinander haben sie jeweils einen waagerechten Abstand von $16\text{ m}$. Das Tragseil verläuft im Modell gemäß dem Funktionsterm $$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6\cdot(x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m}\;[\approx 10{,}00\text{ m}]$. Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = -7{,}2$ und $x = 7{,}2$ befinden, d. h. $72\text{ m}$ links bzw. rechts der Brückenmitte. Geben Sie außerdem an, an wievielter Position von der Brückenmitte aus sich diese Halteseile befinden.

LE

. Position

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die waagerecht $40\text{ m}$ voneinander entfernt sind und sich in der Höhe um $5\text{ m}$ unterscheiden. Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich die $x$-Koordinate des höheren Punkts im Modell bestimmen lässt.

(4)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $$(s(-20 + 1{,}6\cdot 1) + s(-20 + 1{,}6\cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6\cdot 23) + s(-20 + 1{,}6\cdot 24))\cdot 10$$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Antwort.