Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der schraffierte Bereich hat einen Flächeninhalt von etwa 1,25 FE.]

FE

c) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.