Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x,\ x \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im weiteren Verlauf darf ohne Nachweis benutzt werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5)\cdot \mathrm{e}^x$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Zeigen Sie: $f''(x)=(x^3+6x^2+6x-5)\cdot e^x$.

a) (2)

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle und drei Wendestellen. Berechnen Sie diese Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

a) (3)

Für $z > 0$ ist $P_z(z \mid f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ ein Dreieck $OP_zQ_z$. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$, wenn für $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird.

Teilaufgabe c

Die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=(x^3+k)\cdot e^x$ und $k \in \mathbb{R}$ bilden eine Funktionenschar. Dabei ist $f_{-5}$ identisch mit $f$. In Abbildung 3 sind drei Graphen $G_{\text{I}}, G_{\text{II}}, G_{\text{III}}$ der Schar zu drei verschiedenen Parametern $k_{\text{I}}, k_{\text{II}}, k_{\text{III}}$ dargestellt.

c) (1)

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören:

$k_{\text{I}} =$

$k_{\text{II}} =$

$k_{\text{III}} =$

c) (2)

Begründen Sie, dass jede Funktion $f_k$ dieser Schar genau eine Nullstelle besitzt.

Für die Ableitungsfunktion $f_k'$ gilt: $f_k'(x)=(x^3+3x^2+k)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}; k \in \mathbb{R}$.

Um zu untersuchen, wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, betrachtet man die Nullstellen der Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=x^3+3x^2+k$. Abbildung 4 stellt den Graphen von $h_0$ (also $k=0$) dar.

c) (3) (i)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 4 an, wie viele Nullstellen $h_k$ je nach Parameter $k$ hat.

Für $k > 0$ oder $k < -4$: Nullstelle(n)

Für $k = 0$ oder $k = -4$: Nullstelle(n)

Für $-4 < k < 0$: Nullstelle(n)

c) (3) (ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen richtig sind:

S1: Für jedes $k > 0$ hat die Funktion $f_k$ genau eine Extremstelle.

S2: Es gibt keine Funktion $f_k$, die mehr als drei Extremstellen hat.

S3: Es gibt keine Funktion $f_k$, die genau zwei Extremstellen hat.