Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Teil A · Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $f'$ und zweiter Ableitungsfunktion $f''$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

Die Abbildung zeigt die Positionen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$.

a

Begründen Sie, dass der Grad von $f$ mindestens 3 ist. [2 BE]

b

Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f$. [3 BE]

Ihre Abgabe wurde gespeichert. Vergleichen Sie Ihre Begründung und Skizze mit der Musterlösung.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in ]1; +\infty[$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

a

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ hat.

b

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von $a$.

$a =$

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

a

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Für jeden Wert von $x$ mit $0 \le x \le 2$ ist die Steigung des Graphen von $f$ kleiner als 3.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

b

Mit dem Term $\pi \cdot \int_0^2 (f(x))^2\,\mathrm{d}x$ kann das Volumen eines Körpers berechnet werden.

Begründen Sie, dass dieses Volumen größer als $\pi \cdot 0{,}5^2 + \pi \cdot 1^2$ ist.

Ihre Begründung wurde erfasst. Vergleichen Sie Ihren Ansatz mit der offiziellen Musterlösung.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$, dessen einzige Extrempunkte $(-1|1)$ und $(0|0)$ sind, sowie den Punkt $P$.

a

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x) = -f(x - 3)$ an.

(

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Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$, dessen einzige Extrempunkte $(-1|1)$ und $(0|0)$ sind, sowie den Punkt $P$.

b

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P$. Skizzieren Sie diesen Graphen in der Abbildung.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$, dessen einzige Extrempunkte $(-1|1)$ und $(0|0)$ sind, sowie den Punkt $P$.

Eine in $\mathbb{R}$ definierte Kosinusfunktion $f$ hat die Periode $p$. Der Punkt $\left(\frac{p}{2} \mid p\right)$ ist ein Hochpunkt des Graphen von $f$, der Punkt $\left(\frac{p}{4} \mid \frac{p}{2}\right)$ ein Wendepunkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $\frac{p}{4}$.