Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper in der Draufsicht zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

b) (1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(ii)

Untersuchen Sie durch eine Rechnung, ob $B_2$ auf der Ebene $E$ liegt.

(2)

Berechnen Sie, welchen Winkel die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

°

c) Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.