Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

(2)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{-b}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, $b \in \mathbb{R}, b > 0$, und erklären Sie das Ergebnis.

(5)

(i) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der von $G_f$ und $t$ umschlossen wird.

(ii) Die $y$-Achse teilt die von $G_f$ und $t$ umschlossene Fläche in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten von $G_f$ und $t$ umschlossenen Fläche hat.