Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende befestigt.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

b) Nun geht es um den mittleren Brückenabschnitt. Das Tragseil wird in diesem Modell durch den Funktionsterm

$$s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^6\cdot(x^4+2560x^2)+\frac{125}{256}$$

dargestellt.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ zur Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke passt.

(2)

Im mittleren Brückenabschnitt weisen zwei Halteseile jeweils die Länge $\frac{643061}{64000}\,\text{m}\;[\approx 10{,}00\,\text{m}]$.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität sich diese Halteseile befinden.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils mit einem horizontalen Abstand von $40\,\text{m}$ und einem Höhenunterschied von $5\,\text{m}$.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich die $x$-Koordinate des höheren Punkts im Modell bestimmen lässt.