Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also von Zielpersonen und von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

b)

Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit 80 % beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis:

Von 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die Zahl der Videos mit richtiger Einstufung der gezeigten Person als Zielperson höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt liegt.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig ausgewählter Videos von Zielpersonen, die mit der Datenbank abgeglichen werden müssen, damit mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson erkannt wird.

c)

Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}8$ hat den Erwartungswert $\mu = 80$ und die Standardabweichung $\sigma = 4$.

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt aus dem Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt. Darüber hinaus ist auch der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ abgebildet.

Mithilfe der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße $X$ abschätzen.

Näherungsweise lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ durch$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$berechnen.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum diese Integrationsgrenzen gewählt werden.

e)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit einer Gesichtserkennungssoftware, angegeben in Prozent ohne Nachkommastelle, sodass mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen in mindestens 90 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson erkannt wird.

%