Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

(1) Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f an der Stelle x = 0 einen lokalen Hochpunkt aufweist.

Lösung: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2-4\cdot x$, $f''(x)=x-4$. Wegen $f'(0)=0$ und $f''(0)=-4<0$ liegt an der Stelle $x=0$ eine lokale Maximalstelle von $f$ vor.

(2) Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0 den Punkt P(4/3 | 28/3) enthält.

Lösung: Da $H\left(0\middle|\frac{28}{3}\right)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist, verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $H$ waagerecht (Gleichung $y=\frac{28}{3}$) und daher offensichtlich durch den Punkt $P$.

(3) Zeigen Sie, dass die Gerade durch P und Q den Graphen von f im Punkt Q tangiert.

Lösung: Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ hat die Steigung $\frac{\frac{28}{3}-(-12)}{\frac{4}{3}-4} = \frac{\frac{64}{3}}{-\frac{8}{3}} = -8$. Da $f'(4)=\frac{1}{2}\cdot 4^2-4\cdot 4=-8$ gilt, ist sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.