Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

b) (1)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

c) (1)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ verläuft auf der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ auf der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

d) (1)

Der Punkt $H_1$ liegt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ und befindet sich in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10}\cdot h \;\Big|\; 4 - \frac{2}{10}\cdot h \;\Big|\; h\right)$.