Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Im Morgenverkehr bildet sich an einer Autobahnbaustelle oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$ modellieren. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Teilaufgabe a)

(3)

Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Stau am schnellsten länger wird.

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat.

Teilaufgabe b)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $l_{a;b}$ mit

$$l_{a;b}(x) = 16\cdot\frac{a}{b}\cdot x^2\cdot\left(1-\frac{x}{b}\right)^3 \quad\text{und}\quad a,b\in\mathbb{R},\, a>0,\, b>0.$$

Es gilt: $l_{a;b}'(x) = 16\cdot\frac{a}{b}\cdot x\cdot\left(2-\frac{5\cdot x}{b}\right)\cdot\left(1-\frac{x}{b}\right)^2$.

(1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

[Zur Kontrolle: Der einzige lokale Hochpunkt des Graphen von $l_{a;b}$ befindet sich an der Stelle $x = 0{,}4\cdot b$.]

Die Funktion $l_{1;4}$ ist identisch mit der Funktion $s$ (aus Aufgabenteil a)).

Eine Verkehrszentrale überwacht den Autobahnverkehr in der Umgebung. Die Computersysteme der Verkehrszentrale erhalten ständig Daten von Sensoren und Kameras, die von einer Software verarbeitet werden.

Die Software modelliert Staulängen mit den Funktionen $l_{a;b}$. Dabei gibt $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die vergangene Zeit in Stunden ab der Entstehung des Staus und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer an.

(2)

Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist. Für die Modellierung dieses Staus verwendet die Software die Parameter $a = 2{,}4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die prognostizierte Staulänge nach der Entstehung des Staus zum ersten Mal $10\text{ Kilometer}$ erreicht.

Um 06:40 Uhr schaltet eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale eine Reihe von computergesteuerten Verkehrszeichen – ein sogenanntes Leitsystem – ein, die bei der Reduzierung des Staus helfen sollen. Dadurch ändern sich die Parameter der Modellierung für die Zeit nach 06:40 Uhr auf $a = 1{,}75$ und $b = 8$.

(3)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Einschalten des Leitsystems die vorhergesagte maximale Staulänge verringert.

%

(4) Zusätzlich zum Leitsystem soll ein Polizeieinsatz bei der Reduzierung des Staus helfen. Die Polizei will dafür sorgen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr konstant mit der Änderungsrate abnimmt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.

(4)(i)

Ermitteln Sie unter diesen Annahmen mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau verschwunden sein wird.

(4)(ii)

Überprüfen Sie das Ergebnis aus (i) rechnerisch.