Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen ist diese Krümmung sichtbar. Anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ modellhaft den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts bei einem Patienten mit Skoliose:

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sind der Graph von $f$ und das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zu sehen.

a)

(1) Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $f$ und geben Sie jeweils deren Art an; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts bezogen auf den Sachzusammenhang.

(2) (i) Ermitteln Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$, gerundet auf vier Nachkommastellen.

(ii) Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49 \mid f(0{,}49))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85 \mid 0{,}44)$ hat die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Um über weitere Behandlungsschritte zu entscheiden, wird der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ bestimmt, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Laut einer Studie wird in der Regel eine Operation empfohlen, wenn der Cobb-Winkel größer ist als $50^\circ$, andernfalls sollte ein Korsett getragen werden.

(3) Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose laut Empfehlung operiert werden sollte.

c)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob sich durch diese Veränderung ein größerer oder ein kleinerer Wert für den Winkel ergibt.