Aufgabe B1 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5) \cdot e^x$.

a)

(1) Zeigen Sie, dass gilt: $f''(x) = (x^3 + 6x^2 + 6x - 5) \cdot e^x$.

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle sowie drei Wendestellen.

(2) Berechnen Sie die Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

Für $z > 0$ ist $P_z(z \mid f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ ein Dreieck $OP_zQ_z$.

(3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$ für den Fall, dass $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.