Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass sich im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt befinden, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr so groß ist wie der Abstand dieser beiden Punkte (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht genutzt werden.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

a) (2)

Berechnen Sie, wie weit Hochpunkt und Tiefpunkt im Modell voneinander entfernt sind.

a) (3)

Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an der Wendestelle besitzt.

a) (4)

Bei einer Körpergröße von 172 cm beträgt die Oberschenkellänge im Mittel 40 cm.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen an eine bequeme Liege erfüllt.

Teilaufgabe c (1)

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

Teilaufgabe d

d)

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie wird an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ angebracht, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den größten vertikalen Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.