Aufgabe MMS 2 - 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

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Die Abbildung 2 zeigt den vollständigen Längsschnitt einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $$h(x) = \frac{3}{5} \cdot \cos(x) - \frac{3}{5} \cdot x + 12$$ beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 50 Zentimeter oberhalb der Wasseroberfläche.

1 Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Längsschnitts einer Wasserrutschbahn, die aus einem Startbogen, einem Mittelabschnitt und einem Auslaufbogen zusammengesetzt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die x-Achse beschreibt die Horizontale.

Die Rutschbahn weist in ihrem Längsschnitt weder eine Sprungstelle noch einen Knick auf. Der Auslaufbogen geht in seinem Endpunkt, der im Modell durch den Punkt $C$ dargestellt wird, ohne Knick in die Horizontale über.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Gerade, mithilfe derer der Mittelabschnitt beschrieben werden kann, sowie die Größe des Neigungswinkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen.

b)

Eine Person benötigt 1,4 Sekunden, um den Mittelabschnitt zu durchrutschen. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit der Person in diesem Abschnitt der Rutschbahn.

c)

Der Auslaufbogen lässt sich mithilfe einer quadratischen Funktion $f$ beschreiben. Bestimmen Sie eine Gleichung von $f$.

(zur Kontrolle: $f(x) = \frac{3}{32}x^2 - \frac{15}{4}x + \frac{75}{2}$)

d)

Stellen Sie den Auslaufbogen in der Abbildung 1 graphisch dar.

e)

Der Startbogen kann im Modell mithilfe eines Kreises beschrieben werden. Er wird durch mehrere Streben gleicher Länge gestützt; diese gehen alle vom selben Punkt aus, der im Modell auf der y-Achse liegt. Eine der Streben stößt direkt am Übergang zwischen Startbogen und Mittelabschnitt senkrecht auf die Rutschbahn. Ermitteln Sie rechnerisch die Länge des Startbogens.

Die Rutschbahn soll verändert werden, unter anderem die Neigung des geradlinigen Mittelabschnitts. In der Planung dieser Veränderung wird der Punkt $A$ beibehalten, der Punkt $B$ soll um einen Wert $d$ mit $d \in ]0; 8[$ in negative x-Richtung verschoben werden; die y-Koordinate von $B$ wird beibehalten.

f)

Zeigen Sie, dass die Neigung des neuen Mittelabschnitts gegenüber der Horizontalen durch den Term $-\frac{12}{8-d}$ beschrieben wird. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $d$, für den die Neigung halb so groß ist, wie wenn $B$ doppelt so weit in negative x-Richtung verschoben wird.

g)

Für $d = 2$ werden zur Gestaltung des Auslaufbogens die beiden folgenden Möglichkeiten I und II betrachtet:

I Der Graph, der den bisherigen Auslaufbogen darstellt, wird um 2 in negative x-Richtung verschoben und ansonsten nicht verändert.

II Der Auslaufbogen wird durch zwei quadratische Funktionen $p$ und $q$ beschrieben:

$$p(x) = \frac{3}{16} \cdot (x-10)^2 - 2 \cdot (x-10) + 6 \quad \text{für } 10 \le x \le 14$$

$$q(x) = \frac{1}{16} \cdot (x-18)^2 \quad \text{für } 14 \le x \le 18$$

Untersuchen Sie jede der beiden Möglichkeiten im Hinblick darauf, ob die Rutschbahn zwischen dem Beginn des Mittelabschnitts und dem Ende des Auslaufbogens eine Sprungstelle oder einen Knick aufweist.