Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) Der untere Rand des Seitenteils wird in einem passenden Intervall durch den Graphen der Funktion $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$h$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, und ihr Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse. Der Graph von $h$ geht durch den Punkt $(0 \mid 0{,}375)$ auf der $y$-Achse. Außerdem ist der Punkt $\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \;\middle|\; 0\right)$ ein lokaler Tiefpunkt des Graphen von $h$.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $h$.

[Zur Kontrolle: $h(x) = 0{,}06 x^4 - 0{,}3 x^2 + 0{,}375$]