Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels aus drei gleich geformten Gebäuden verwendet (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Draufsicht dargestellt. Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

c)

(1) Begründen Sie, dass es sich bei $$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -40 \\ 10 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$$ um diejenige Ebene handelt, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält. [3 Punkte]

(2) Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast, dessen Spitze den Punkt $S(0|0|35)$ bildet. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$ ein.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt. [4 Punkte]

Ja

Nein