Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Bei der Skoliose, einer Erkrankung der Wirbelsäule, ist diese nicht gerade, sondern mehrere Wirbel formen eine Krümmung (siehe Abbildung 1). Man erkennt die Krümmung auf Röntgenbildern. Anhand dieser Aufnahmen wird über das weitere Vorgehen bei der Behandlung entschieden.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\quad x \in \mathbb{R}.$$Eine Einheit im Koordinatensystem steht dabei für einen Dezimeter (dm).

Die x-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über die weitere Behandlung ermittelt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$, den sogenannten Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Ein Cobb-Winkel von mehr als 70° kann als Nebenwirkung Kurzatmigkeit verursachen. Einer Studie zufolge muss man bei einem Cobb-Winkel unter 70° nicht mit einer Beeinträchtigung der Atemwege rechnen.

a) (1)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = -1{,}6x \cdot \mathrm{e}^{-x^2}$ gilt. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$.

| $)$

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts im Kontext der Aufgabe.

a) (2)

(i) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Der Punkt $W_1\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\middle|f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $f$ im II. Quadranten.

(ii) Zeigen Sie, dass die Gerade $t_1$ mit $t_1: y = 0{,}8 \cdot \sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5} \cdot x + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W_1$ ist.

(iii) Geben Sie den zweiten Wendepunkt $W_2$ und eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W_2$ an.

$W_2($ | $)$

a) (3)

Der Cobb-Winkel kann mit der Formel $$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$ aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Wendetangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose mit einer Beeinträchtigung der Atemwege zu rechnen ist.

c)

Für einige weitere Skoliose-Patienten konnte der Verlauf der Wirbelsäule durch eine Funktion $h_k$ mit $$h_k(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x^2}, \quad k > 0, \; x \in \mathbb{R}$$ beschrieben werden. In einem vereinfachten Ansatz zur Analyse der Skoliose soll die maximale Steigung des Graphen der Funktion $h_k$ betrachtet werden. Diese liegt an der Stelle $x_W = -\frac{1}{\sqrt{2k}}$ vor. Wenn die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$, ist ein besonderes Therapieprogramm erforderlich.

(1) Berechnen Sie $h_k'(x)$ und bestimmen Sie die maximale Steigung des Graphen von $h_k$ abhängig von $k$.

(2) Ermitteln Sie, für welche Werte von $k > 0$ die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$.

d)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 6).

Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob sich durch diese Veränderung ein größerer oder ein kleinerer Wert für den Winkel ergibt.