Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabe B1: Gegebene Funktionen

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $h$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot \mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}.$$

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie ihre Koordinaten.

( |)

( |)

a) (2)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Funktion $f$ Wendestellen besitzt; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

$x_{w1} =$

$x_{w2} =$

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -\mathrm{e}^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot \mathrm{e}^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$ ist.

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung $$g(x)=(x+1)\cdot(x-1)\cdot \mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}.$$ Der Graph der Funktion $g$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Für $-1 < z < 1$ legen die Punkte $P(-1\mid 0)$, $Q_z(z\mid g(z))$ und $R_z(z\mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$ fest.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $PQ_zR_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

b) (2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ abhängig von $z$ durch die Gleichung $$B(z)=-0{,}5\cdot(z+1)^2\cdot(z-1)\cdot \mathrm{e}^z$$ berechnen lässt.

b) (3)

Ermitteln Sie sämtliche Werte von $z$, für die das Dreieck $PQ_zR_z$ einen Flächeninhalt von $0{,}5$ Flächeneinheiten hat.

$z_1 =$

$z_2 =$

b) (4)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

Maximaler Flächeninhalt $B_{\max} =$ [FE]