Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

c) Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4\cdot (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ohne Nachweis benutzen.

Teilaufgabe a(3)

(3)

Geben Sie an, welchen Wert das Integral $\int_{0}^{2}(q(x)-p(x))\,\mathrm{d}x$ besitzt, und interpretieren Sie diesen Wert in geometrischer Hinsicht.

Teilaufgabe b(1)

(1)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Teilaufgabe b(3)

(3)

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ bilden das Rechteck $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Ermitteln Sie, welchen Anteil der Flächeninhalt des schraffierten Teilstücks am Flächeninhalt des Rechtecks hat.

Teilaufgabe c(4)

(4)

(i) Bestimmen Sie, welche Wassermenge in den ersten zwei Sekunden nach Beobachtungsbeginn die Messstelle passiert.

(ii) Für $t \ge 0$ besitzt die Gleichung $\int_{t}^{t+3} w(x)\,\mathrm{d}x = 13$ die Lösungen $t_1$ und $t_2$ mit $t_1 \approx 0{,}8$ und $t_2 \approx 4{,}4$.

Interpretieren Sie, was diese beiden Lösungen im Sachzusammenhang bedeuten.