Aufgabe 2 (a, b, d) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Zur Beschreibung des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur könnte im Modell anstelle von $g$ auch die Funktion $h$ mit $h(x) = -3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + 14$ und $0 \le x < 12$ verwendet werden.

a

Geben Sie die Wendestelle von $g$ an. Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. [2 BE]

b

Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$$\begin{aligned} g'(x) = 0 &\Leftrightarrow x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12} \\ g(6 + \sqrt{12}) &- g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2 \end{aligned}$$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. [4 BE]

d

Beurteilen Sie die folgende Aussage: [4 BE]

Im Modell ist unter Verwendung von $h$ der Zeitraum steigender Tagesdurchschnittstemperatur etwa einen Monat kürzer als unter Verwendung von $g$.