Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

a) (1) Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$; dabei dürfen keine aus Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge benutzt werden.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $x = 1$ und $x = 2$.]

a)(1)

a) (2) Berechnen Sie im Modell die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt (in LE).

a)(2)

a) (3) Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an der Wendestelle besitzt.

a)(3)

a) (4) Eine Person mit einer Körpergröße von $172\text{ cm}$ hat im Durchschnitt eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen an eine bequeme Liege erfüllt.

a)(4)

d) An dem Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ sitzen, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) von oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie diesen maximalen vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils.

d)