Aufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

(1) Weisen Sie nach, dass f an der Stelle x = 0 einen lokalen Hochpunkt seines Graphen besitzt.

Lösung: $f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x$, $f''(x) = x - 4$. Wegen $f'(0) = 0$ und $f''(0) = -4 < 0$ liegt an der Stelle $x = 0$ eine lokale Maximalstelle von $f$ vor.

(2) Begründen Sie, dass der Punkt P(4/3 | 28/3) auf der Tangente liegt, die den Graphen von f an der Stelle x = 0 berührt.

Lösung: Da $H\left(0\,\Big|\,\frac{28}{3}\right)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist, verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $H$ waagerecht ($y = \frac{28}{3}$) und daher offensichtlich durch den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\,\Big|\,\frac{28}{3}\right)$.

(3) Zeigen Sie, dass die Gerade durch P und Q den Graphen von f im Punkt Q tangential berührt.

Lösung: Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ hat die Steigung $$m = \frac{\frac{28}{3} - (-12)}{\frac{4}{3} - 4} = \frac{\frac{64}{3}}{-\frac{8}{3}} = -8.$$ Da $f'(4) = \frac{1}{2}\cdot 4^2 - 4\cdot 4 = -8$ gilt und $Q$ auf dem Graphen sowie auf der Geraden liegt, ist sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.