Aufgabe d) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

d) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = (2\cdot x - 1)\cdot e^{2\cdot x},\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -x\cdot e^{2\cdot x},\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen beider Funktionen.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

Außerdem sei die Funktion $D$ mit $D(x) = \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot e^{2\cdot x},\ x \in \mathbb{R}$, betrachtet.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion zur Differenzfunktion $d$ mit $d(x) = g(x) - f(x)$ darstellt.

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.