Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dessen oberer Rand wird vom Graphen einer Funktion $g$ beschrieben, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$.

In einem passenden Intervall werden der obere und der untere Rand durch die Graphen von $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3-3x^2+4x-\frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x)=0{,}06x^4-0{,}30x^2+0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Bei dem Versuch, die Liegenform zu optimieren, zeigte sich, dass es günstiger ist, die Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

[Aus Teilaufgabe b(1) ist bekannt: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$]

b) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür notwendigen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

Linke Schnittstelle (Schnitt von $g$ und $h$ bei $x < 1$): $x_1 \approx$

Rechte Schnittstelle (Schnitt von $t$ und $h$ bei $x > 2$): $x_2 \approx$

$A \approx$

FE

b) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.