Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Nachtermin · CAS

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2\cdot x^2$, $x\in\mathbb{R}$.

(1)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3-2\cdot x^2+\frac{28}{3}$, $x\in\mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x=0$ einen lokalen Hochpunkt aufweist.

(2)

Begründen Sie, dass der Punkt $P\left(\frac{4}{3}\middle|\frac{28}{3}\right)$ auf der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ liegt.

(3)

Der Punkt $Q(4|-12)$ ist ein Punkt des Graphen von $f$.

Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangiert.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $$f(x)=(2x-1)\cdot e^{2x},\ x\in\mathbb{R}.$$ Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Weiterhin ist die Funktion $F$ mit $$F(x)=(x-1)\cdot e^{2x},\ x\in\mathbb{R},$$ gegeben.

(1)

Weisen Sie nach, dass es sich bei $F$ um eine Stammfunktion von $f$ handelt.

(2)

Die $x$-Achse wird vom Graphen der Funktion $f$ ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ geschnitten.

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

d) Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ p \\ q \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Geben Sie diejenigen Werte von $p$ und $q$ an, bei denen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kollinear zueinander sind.

(2)

Für passende Werte von $p$ und $q$ spannen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf.

Geben Sie dafür ein Beispiel an.

(3)

Prüfen Sie, ob es Werte für $p$ und $q$ gibt, bei denen der Vektor $\vec{u}$ die Länge 9 [LE] besitzt.

e) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

In Abbildung 2 ist ein Ausschnitt der Ebene $E$ dargestellt.

(1) (i)

Der in Abbildung 2 markierte Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$. Man erhält ihn, indem man ganzzahlige Werte für die Parameter $r$ und $s$ in die Parametergleichung von $E$ einsetzt.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte für $r$ und $s$ an, für die $\vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \vec{OA}$ erfüllt ist.

$r =$

$s =$

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, den man erhält, wenn man in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ sämtliche Werte mit $0 \le r \le 2$ und $-1 \le s \le 1$ einsetzt.

(2)

Es gilt:

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R}.$$

Untersuchen Sie, ob der Punkt $P(5|0|2)$ zur Ebene $E$ gehört.

Bei einem Schulfest gibt es das folgende Würfelspiel:

Wer 0,50 € Einsatz zahlt, würfelt dreimal mit einem regulären Würfel. Jede geworfene 6 wird mit 1 € ausgezahlt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den Auszahlungsbetrag.

(1)

Geben Sie in der nachstehenden Tabelle die Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ an:

$k$ · $0\text{ €}$ · $1\text{ €}$ · $2\text{ €}$ · $3\text{ €}$

$P(X=k)$

(2)

Zeigen Sie, dass es sich um ein faires Spiel handelt.

€

Für eine neu gezüchtete Mandarinensorte gilt: Eine zufällig herausgegriffene Mandarine enthält nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ Kerne. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele Mandarinen mit Kernen sich in einer Kiste mit $100$ Mandarinen befinden.

(1)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines jeden der folgenden Ereignisse A, B und C eignet sich jeweils genau einer der Terme (i) bis (vi).

A: Genau vier von den $100$ Mandarinen in einer Kiste haben Kerne.

B: Mindestens eine von den $100$ Mandarinen in einer Kiste hat Kerne.

C: Von $100$ Mandarinen in einer Kiste hat mindestens eine Mandarine keine Kerne.

(i) $\dbinom{100}{4}\cdot 0{,}9^4\cdot 0{,}1^{96}$

(ii) $\dbinom{100}{4}\cdot 0{,}1^4\cdot 0{,}9^{96}$

(iii) $\dbinom{100}{1}\cdot 0{,}1^1\cdot 0{,}9^{99}$

(iv) $1-\dbinom{100}{100}\cdot 0{,}1^{100}\cdot 0{,}9^0$

(v) $1-0{,}9^{100}$

(vi) $1-\dbinom{100}{1}\cdot 0{,}1^1\cdot 0{,}9^{99}$

Ordnen Sie jedem Ereignis den Term zu, mit dem sich seine Wahrscheinlichkeit berechnen lässt.

Ereignis A:

Ereignis B:

Ereignis C:

Aufgabe B1: Gegebene Funktionen

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $h$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot \mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}.$$

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie ihre Koordinaten.

( |)

( |)

a) (2)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Funktion $f$ Wendestellen besitzt; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

$x_{w1} =$

$x_{w2} =$

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -\mathrm{e}^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot \mathrm{e}^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$ ist.

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung $$g(x)=(x+1)\cdot(x-1)\cdot \mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}.$$ Der Graph der Funktion $g$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Für $-1 < z < 1$ legen die Punkte $P(-1\mid 0)$, $Q_z(z\mid g(z))$ und $R_z(z\mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$ fest.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $PQ_zR_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

b) (2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ abhängig von $z$ durch die Gleichung $$B(z)=-0{,}5\cdot(z+1)^2\cdot(z-1)\cdot \mathrm{e}^z$$ berechnen lässt.

b) (3)

Ermitteln Sie sämtliche Werte von $z$, für die das Dreieck $PQ_zR_z$ einen Flächeninhalt von $0{,}5$ Flächeneinheiten hat.

$z_1 =$

$z_2 =$

b) (4)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

Maximaler Flächeninhalt $B_{\max} =$ [FE]

Aufgabe B1: Gegebene Funktionen

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $h$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

a) (4) (i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

FE

a) (4) (ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Inhalts von $A$ auf diese Teilfläche entfallen.

%

Aufgabe B1: Gegebene Funktionen

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Funktion $h$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

c) Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0,5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Aus dem Graphen der Funktion $f$ lässt sich der Graph der Funktion $h$ durch eine Transformation gewinnen.

Geben Sie die Art dieser Transformation an.

(2)

Die Graphen von $g$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1|0)$ sowie einen zweiten Schnittpunkt $T$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

$T($

$|$

$)$

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass der entstehende Graph den Graphen von $g$ ebenfalls in $S(1|0)$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt.

Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

a)

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

(1)

Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

(

&mid;

)

(

&mid;

)

(2)

Berechnen Sie, wie weit Hochpunkt und Tiefpunkt voneinander entfernt sind.

(3)

Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an seiner Wendestelle hat.

(4)

Bei einer Körpergröße von $172\text{ cm}$ beträgt die Oberschenkellänge im Mittel $40\text{ cm}$.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen einer bequemen Liege erfüllt.

c)

Bei dem Versuch, die Liege zu optimieren, zeigte sich, dass es günstiger ist, die Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Daher wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

(1)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $t$ rechnerisch.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

d)

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie wird an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ angebracht, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den maximalen vertikalen Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) Der untere Rand des Seitenteils wird in einem passenden Intervall durch den Graphen der Funktion $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$h$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, und ihr Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse. Der Graph von $h$ geht durch den Punkt $(0 \mid 0{,}375)$ auf der $y$-Achse. Außerdem ist der Punkt $\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \;\middle|\; 0\right)$ ein lokaler Tiefpunkt des Graphen von $h$.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $h$.

[Zur Kontrolle: $h(x) = 0{,}06 x^4 - 0{,}3 x^2 + 0{,}375$]

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Die schraffierte Fläche hat einen Inhalt von etwa 1,25 FE.]

FE

c) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit $$f(x) = g(k\cdot x) = \frac{2}{3}(k\cdot x)^3 - 3(k\cdot x)^2 + 4(k\cdot x) - 0{,}7,\quad x \in \mathbb{R}.$$ Durch die Wahl eines passenden Wertes von $k$ für die Funktion $f$ soll die Liegefläche einer Kinderliege beschrieben werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert bleibt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe b (1)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Stellen Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Parameterform auf.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Ja

Nein

Teilaufgabe c (1)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ verläuft auf der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix},\ r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ verläuft auf der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix},\ s \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert bleibt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $A_3$ besitzt.

a) (2)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Pyramidenstumpfes.

a) (3)

Der Pyramidenstumpf wird in der Höhe 5 von einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene geschnitten, wobei die quadratische Schnittfläche $S$ entsteht. Berechnen Sie deren Flächeninhalt $F_S$.

[Zur Kontrolle: $F_S = 36\text{ FE}$]

Teilaufgabe b

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen.

°

b) (3)

Der Punkt $H_1(1|3|5)$ liegt in der Höhe 5 auf der Kante $\overline{A_1B_1}$. Ebenso liegen $H_2(-3|1|5)$, $H_3$ und $H_4$ in der Höhe 5 auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ bzw. $\overline{A_4B_4}$. Sie bilden das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$, dessen Flächeninhalt kleiner ist als $F_S$.

Bestimmen Sie rechnerisch, um wie viel Prozent der Flächeninhalt kleiner geworden ist.

%

Teilaufgabe c

Für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende Berechnung vor, die nur unvollständig dokumentiert ist:

(I) $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$.

(II) $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix}$.

(III) $\begin{pmatrix} \overrightarrow{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \overrightarrow{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 8-6r-2s \\ -2r+6s \\ -10r+10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \begin{pmatrix} 8-6r-2s \\ -2r+6s \\ -10r+10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} r = \dots \\ s = \dots \end{pmatrix}$.

(IV) Einsetzen von $r = \dots$ und $s = \dots$ in $\overrightarrow{PQ}$ liefert den Vektor $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$.

(V) $\left|\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\right| = \frac{4\cdot\sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27$.

c) (2) (i)

Bestimmen Sie mithilfe von (I), (II) und (III) die Werte von $r$ und $s$.

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.

Aufgabenstellung

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Übereinstimmung ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen und Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

In der Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\,\%$ irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

Auf $10\,\%$ der in der Testphase genutzten Videos sind Zielpersonen zu sehen.

a)

(1)

Erstellen Sie für die geschilderte Situation ein zweistufiges Baumdiagramm mit Beschriftung.

(2)

(i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson klassifiziert.

(ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Aufgabenstellung

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Übereinstimmung ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen und Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

In der Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\,\%$ irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

Auf $10\,\%$ der in der Testphase genutzten Videos sind Zielpersonen zu sehen.

Teilaufgabe b

Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Güte ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit wie in der Testphase 80 % beträgt.

b) (1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Unter 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson ein.

b) (2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der richtig als Zielperson eingestuften Videos um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert unterscheidet.

b) (3)

Bestimmen Sie die Mindestanzahl zufällig ausgewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit in mindestens zehn dieser Videos mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft wird.

Teilaufgabe d

d)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit sie bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % in mindestens 90 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson einstuft.

%

Aufgabenstellung

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Übereinstimmung ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen und Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

In der Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\,\%$ irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

Auf $10\,\%$ der in der Testphase genutzten Videos sind Zielpersonen zu sehen.

Ein weiterer Hersteller vertreibt ebenfalls eine Gesichtserkennungssoftware. Nach dessen Angabe liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei 90 %.

Eine Sicherheitsingenieurin möchte die Angabe des Herstellers untersuchen. Dazu lässt sie 100 zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen. Wird dabei in mindestens 95 Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson eingestuft, geht die Sicherheitsingenieurin davon aus, dass die Herstellerangabe zutrifft.

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ingenieurin die Herstellerangabe für zutreffend hält, obwohl die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit der Software lediglich 86 % beträgt. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gradlinig verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweist (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung sichtbar und dient als Grundlage dafür, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \leq x \leq 5$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung bestimmt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$; dieser heißt Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird meist zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel $50^\circ$ übersteigt; ansonsten soll ein Korsett 1 getragen werden.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.

a)

(1) Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten der zwei Extrempunkte des Graphen von $f$ und geben Sie deren Art an; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts bezogen auf den Sachzusammenhang.

(2) (i) Ermitteln Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$ und runden Sie dabei auf vier Nachkommastellen.

(ii) Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49|f(0{,}49))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Im Wendepunkt $W_2(2{,}85|0{,}44)$ besitzt die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung wird der Winkel $\alpha$ zwischen den Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ herangezogen, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird üblicherweise zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel über $50^\circ$ liegt; sonst sollte ein Korsett getragen werden.

(3) Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

ermittelt werden, wobei $m_1$ bzw. $m_2$ die Steigungen der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ sind.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose eine Operation empfohlen wird.

c)

Ein Arzt erwägt, anstelle des Cobb-Winkels zwischen den Wendepunkttangenten den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel zu nutzen, auf denen die Wendepunkte liegen.

Konkret heißt das: Anstelle der Tangente in $W_1$ dient die Tangente im Punkt $P_1$, der auf dem Graphen von $f$ weiter links liegt. Entsprechend wird statt der Tangente in $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ genommen, der auf dem Graphen von $f$ weiter rechts liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob der Winkel durch diese Änderung größer oder kleiner wird.

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gradlinig verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweist (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung sichtbar und dient als Grundlage dafür, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \leq x \leq 5$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung bestimmt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$; dieser heißt Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird meist zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel $50^\circ$ übersteigt; ansonsten soll ein Korsett 1 getragen werden.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.

Vorgegebene Wendetangenten (aus früheren Teilaufgaben):

$t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49 \mid f(0{,}49))$

$t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85 \mid 0{,}44)$

b) Bei der Herstellung eines Korsetts kommt im größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein Spezialmaterial zum Einsatz. In Abbildung 4 ist die Fläche, die aus diesem Spezialmaterial besteht, schraffiert markiert.

(1)

Berechnen Sie die Punkte, in denen die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden. [2 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der aus dem Spezialmaterial gefertigt wird. [4 Punkte]