Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Thema: Graphen von f, f′ und F deuten · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

c) Gegeben ist eine auf R\mathbb{R} definierte ganzrationale Funktion ff, die nicht linear ist, mit der ersten Ableitungsfunktion f′f' und der zweiten Ableitungsfunktion f′′f''. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

Die Funktion ff hat an der Stelle x1x_1 eine Nullstelle.

Es gilt f′(x2)=0f'(x_2) = 0 und f′′(x2)≠0f''(x_2) \neq 0.

Die Funktion f′f' nimmt an der Stelle x3x_3 ein Minimum an.

In Abbildung 1 sind die Lagen von x1x_1, x2x_2 und x3x_3 dargestellt.

(1)

Begründen Sie, warum ff mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von ff.

Aufgabenstellung: Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Begründen Sie, warum f mindestens den Grad 3 haben muss.

Lösung: Da f′f' an der Stelle x3x_3 ein Minimum hat [und f′f' nicht konstant sein kann, da ff laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist], ist der Grad von f′f' mindestens 2 und damit der Grad von ff mindestens 3.

(2) Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von f.

Lösung: Mögliche Lösung: Der Graph schneidet die xx-Achse bei x1x_1, hat bei x2x_2 ein lokales Extremum (waagerechte Tangente) und bei x3x_3 einen Wendepunkt mit minimaler Steigung (steigend vor x2x_2, Hochpunkt bei x2x_2, fallend danach mit Wendepunkt bei x3x_3).

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