Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (1)-(4) · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag bildet sich der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

(1)

Nennen Sie alle Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge im Modell null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass es keine weiteren derartigen Zeitpunkte gibt.

(2)

Es gilt $f(2) < 0$. Geben Sie an, was diese Aussage im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Staulänge am schnellsten wächst.

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ und $3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ hat.

(4)

Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Stau seine größte Länge erreicht. Begründen Sie Ihre Angabe.