Aufgabe A1 - d · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

$a =$