Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Bei der Skoliose, einer Erkrankung der Wirbelsäule, ist diese nicht gerade, sondern mehrere Wirbel formen eine Krümmung (siehe Abbildung 1). Man erkennt die Krümmung auf Röntgenbildern. Anhand dieser Aufnahmen wird über das weitere Vorgehen bei der Behandlung entschieden.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\quad x \in \mathbb{R}.$$Eine Einheit im Koordinatensystem steht dabei für einen Dezimeter (dm).

Die x-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über die weitere Behandlung ermittelt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$, den sogenannten Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Ein Cobb-Winkel von mehr als 70° kann als Nebenwirkung Kurzatmigkeit verursachen. Einer Studie zufolge muss man bei einem Cobb-Winkel unter 70° nicht mit einer Beeinträchtigung der Atemwege rechnen.

b)

Skoliosen können unter anderem mit einem Korsett behandelt werden. Beim Herstellen eines Korsetts kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche, die mit diesem speziellen Material versehen wird, ist in Abbildung 4 schraffiert gezeichnet.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt desjenigen Bereichs, der mit dem speziellen Material versehen wird.