Aufgabe d · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=(2 \cdot x - 1) \cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R},$$und$$g(x)=-x \cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$In Abbildung 1 sind die Graphen beider Funktionen zu sehen.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

Zudem sei die Funktion $D$ mit $D(x)=\left(-\frac{3}{2} \cdot x + \frac{5}{4}\right) \cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R}$, betrachtet.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion der Differenzfunktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)$ darstellt.

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.